Родился в поселке Назаровка Первомайского района Оренбургской области. Вскоре семья переехала поселок Тюльпан, где Иван закончил школу.

Он увлекался спортом и шахматами. Со временем стал мастером спорта по шахматам.

В 2010 году семья переехала в Новокузнецк.

В этом же году Иван пошёл в армию. Служил рядовым в Таджикистане, вернулся ветераном боевых действий. Имел много наград.

В сентябре 2018 года пришел в новокузнецкий ОМОН «Рубеж».

За время службы по контракту Квасов Иван Петрович принимал непосредственное участие в проведении мероприятий по обеспечению правопорядка и общественной безопасности на территории Северо-Кавказского региона.

Квасов Иван Петрович при жизни награждён медалью «За мужество и отвагу».

25 февраля 2022 года в ходе проведения специальной военной операции на Украине в поселке Гостомель старший сержант Квасов погиб при выполнении боевых задач.

Указом Президента РФ за мужество, отвагу и самоотверженность, проявленные при исполнении воинского долга, Иван Петрович Квасов награждён орденом Мужества (посмертно).